Đáp án: 10

Hướng dẫn giải:

- Tìm tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\):

\[ \overrightarrow{AB} = (0 - 2; 1 - 1; 1 - (-2)) = (-2; 0; 3) \]

- Tìm tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{AC}\):

\[ \overrightarrow{AC} = (3 - 2; -2 - 1; 2 - (-2)) = (1; -3; 4) \]

- Tính tích vô hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 1 + 0 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 = -2 + 0 + 12 = 10 \]

- Vậy giá trị của \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) bằng 10.

Đáp án: 1502

Hướng dẫn giải:

- Vectơ chuyển dời của máy bay trong 2 giờ bay từ \(A\) đến \(B\) là: \(\overrightarrow{AB} = (250 - 400; 200 - 350; 10 - 6) = (-150; -150; 4)\).

- Gọi \(\vec{v}\) là vectơ vận tốc của máy bay (tương ứng với vectơ chuyển dời trong 1 giờ). Vì máy bay bay từ \(A\) đến \(B\) trong 2 giờ nên:

\[ \vec{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \left(-\frac{150}{2}; -\frac{150}{2}; \frac{4}{2}\right) = (-75; -75; 2) \]

- Máy bay tiếp tục giữ nguyên hướng và vận tốc, bay thêm 1 giờ từ \(B\) đến \(C\), do đó vectơ chuyển dời từ \(B\) đến \(C\) chính bằng vectơ vận tốc \(\vec{v}\):

\[ \overrightarrow{BC} = \vec{v} = (-75; -75; 2) \]

- Ta có \(\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (a - 250; b - 200; c - 10)\). Suy ra:

\[ \begin{cases} a - 250 = -75 \\ b - 200 = -75 \\ c - 10 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} a = 175 \\ b = 125 \\ c = 12 \end{cases} \]

- Vậy tọa độ điểm \(C\) là \(C(175; 125; 12)\).

- Giá trị biểu thức cần tính là:

\[ 5a + 3b + 21c = 5(175) + 3(125) + 21(12) = 875 + 375 + 252 = 1502 \]

Đáp án: 46,9

Hướng dẫn giải:

- Tổng số cây xoan đào được thống kê là: \(n = 5 + 20 + 18 + 7 + 3 = 53\).

- Để tìm tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\), ta xác định vị trí của nó: \(\frac{n}{4} = \frac{53}{4} = 13,25\).

- Nhóm thứ nhất \([40;45)\) có tần số tích lũy là \(5\).

- Nhóm thứ hai \([45;50)\) có tần số tích lũy là \(5 + 20 = 25\).

- Vì \(5 < 13,25 \le 25\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \([45;50)\).

- Áp dụng công thức tính tứ phân vị thứ nhất cho mẫu số liệu ghép nhóm:

\[ Q_1 = r + \left( \frac{\frac{n}{4} - cf_{k-1}}{n_k} \right) \cdot h \]

Trong đó:

• \(r = 45\) (đầu mút trái của nhóm chứa \(Q_1\))
• \(h = 50 - 45 = 5\) (độ rộng của nhóm)
• \(n_k = 20\) (tần số của nhóm chứa \(Q_1\))
• \(cf_{k-1} = 5\) (tần số tích lũy của nhóm trước đó)

- Thay các giá trị vào công thức:

\[ Q_1 = 45 + \left( \frac{13,25 - 5}{20} \right) \cdot 5 = 45 + \frac{8,25}{4} = 45 + 2,0625 = 47,0625 \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được: 47,1

Đáp án: 8

Hướng dẫn giải:

- Đổi khoảng cách mục tiêu từ đơn vị km sang mét: \(1,5 \text{ km} = 1500 \text{ mét}\).

- Do đơn vị đo trên hệ trục tọa độ tương ứng với 100 mét, nên độ dài đoạn \(AE\) trong không gian tọa độ là: \(AE = \frac{1500}{100} = 15\).

- Tính thời gian tổ thứ nhất hoàn thành công việc từ điểm \(A\) đến điểm \(E\):

\[ t = \frac{1500 \text{ mét}}{12 \text{ mét/ngày}} = 125 \text{ ngày} \]

- Tổ thứ nhất đi theo đường thẳng qua \(A\) và \(B\), nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\) làm véc-tơ chỉ phương:

\[ \overrightarrow{AB} = (6 - 5; 9 - 7; 12 - 10) = (1; 2; 2) \implies AB = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3 \]

- Vì điểm \(E\) thuộc tia \(AB\) và \(AE = 15 = 5 \cdot AB\), ta có mối quan hệ véc-tơ: \(\overrightarrow{AE} = 5\overrightarrow{AB}\).

\[ \begin{cases} x_E - 5 = 5 \cdot 1 \implies x_E = 10 \\ y_E - 7 = 5 \cdot 2 \implies y_E = 17 \\ z_E - 10 = 5 \cdot 2 \implies z_E = 20 \end{cases} \implies E(10; 17; 20) \]

- Tính khoảng cách từ điểm xuất phát \(C(4;17;12)\) của tổ thứ hai đến điểm hẹn \(E\) trong không gian tọa độ:

\[ CE = \sqrt{(10 - 4)^2 + (17 - 17)^2 + (20 - 12)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2 + 8^2} = 10 \]

- Đổi độ dài thực tế của đoạn đường hầm tổ hai cần đào ra đơn vị mét:

\[ s_2 = 10 \cdot 100 = 1000 \text{ mét} \]

- Để đến điểm \(E\) cùng thời điểm với tổ một, tổ hai cũng phải đào trong vòng 125 ngày. Tốc độ đào của tổ hai là:

\[ v_2 = \frac{1000 \text{ mét}}{125 \text{ ngày}} = 8 \text{ mét/ngày} \]

- Vậy tốc độ đào hầm của tổ thứ hai cần đạt là 8 mét/ngày.

Đáp án: 144

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(x\) là tốc độ di chuyển của xe chở hàng (dặm/giờ), điều kiện: \(0 < x \le 50\).

- Tổng quãng đường vận chuyển là \(100\) dặm nên:

• Tổng chi phí nhiên liệu cho cả chuyến đi là: \[ 100 \cdot C(x) = 100 \cdot \frac{1}{5}\left(\frac{64}{x} + \frac{9}{100}x\right) = 20\left(\frac{64}{x} + \frac{9}{100}x\right) = \frac{1280}{x} + \frac{9}{5}x \]
• Thời gian xe di chuyển hết quãng đường là: \(t = \frac{100}{x}\) (giờ).
• Tổng chi phí thuê tài xế cho cả chuyến đi là: \(16 \cdot \frac{100}{x} = \frac{1600}{x}\) (USD).

- Hàm tổng chi phí cho mỗi chuyến hàng là:

\[ f(x) = \frac{1280}{x} + \frac{9}{5}x + \frac{1600}{x} = \frac{2880}{x} + \frac{9}{5}x \]

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương \(\frac{2880}{x}\) và \(\frac{9}{5}x\), ta có:

\[ f(x) \ge 2 \sqrt{\frac{2880}{x} \cdot \frac{9}{5}x} = 2 \sqrt{576 \cdot 9} = 2 \cdot 24 \cdot 3 = 144 \]

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\[ \frac{2880}{x} = \frac{9}{5}x \iff 9x^2 = 14400 \iff x^2 = 1600 \implies x = 40 \text{ (thỏa mãn } 0 < x \le 50) \]

- Vậy chi phí nhỏ nhất mà công ty phải trả trên mỗi chuyến hàng là 144 USD.

Đáp án: 9525

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(P\) là tổng trọng lượng của chiếc xe ô tô và khung sắt (\(P = P_{\text{ô tô}} + P_{\text{khung}}\)).

- Để hệ thống cân bằng và được kéo lên theo phương thẳng đứng, tổng hình chiếu của các lực căng dây cáp lên phương thẳng đứng phải bằng trọng lượng \(P\).

- Gọi \(T\) là cường độ lực căng của mỗi sợi cáp, \(\alpha\) là góc tạo bởi sợi cáp và mặt phẳng \((ABCD)\). Vì 4 sợi cáp đối xứng nên hình chiếu của mỗi lực căng lên phương thẳng đứng là \(T\sin\alpha\).

- Phương trình cân bằng lực theo phương thẳng đứng là: \(4T\sin\alpha = P\).

- Lúc đầu, \(\alpha_1 = 60^\circ\), gọi lực căng mỗi sợi là \(T_1\). Ta có:

\[ 4T_1\sin 60^\circ = P \implies 4T_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = P \implies 2\sqrt{3}T_1 = P \quad (1) \]

- Lúc sau, góc giảm đi \(15^\circ\) nên \(\alpha_2 = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ\). Lực căng tăng thêm \(725\text{ N}\) nên \(T_2 = T_1 + 725\). Ta có:

\[ 4(T_1 + 725)\sin 45^\circ = P \implies 4(T_1 + 725)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = P \implies 2\sqrt{2}(T_1 + 725) = P \quad (2) \]

- Từ (1) và (2), ta thiết lập được phương trình:

\[ 2\sqrt{3}T_1 = 2\sqrt{2}(T_1 + 725) \implies \sqrt{3}T_1 - \sqrt{2}T_1 = 725\sqrt{2} \implies T_1 = \frac{725\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \]

- Thay \(T_1\) vào (1) để tính tổng trọng lượng \(P\):

\[ P = 2\sqrt{3} \cdot \frac{725\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1450\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \approx 11174,776\text{ N} \]

- Trọng lượng của chiếc xe ô tô là:

\[ P_{\text{ô tô}} = P - P_{\text{khung}} \approx 11174,776 - 1650 = 9524,776\text{ N} \]

- Làm tròn đến hàng đơn vị, trọng lượng chiếc xe ô tô là \(9525\text{ N}\).